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等差数列教学内容的深化探究

发布时间:2017-12-29编辑:毕业论文

数学课程是一门重要的基础课程,在学习数学的过程anemometer中,只有掌握好教材内容,才能使学习取得预期效果。良好的学习效果源于对课堂知识的深入体会和对课本内容的理性认识以及对平时知识的点滴积累。数学是人们解决生活和工作中各种实际问题常用的工具,对其深度广度的进一步掌握甚为重要。等差数列是讨论和研究数学问anemometer题常用的知识点,对其性质、内涵和更多特性的认识及应用能够很好地为生活生产服务。

一、知识点分析

(一)等差数列的概念

1.文字表达。如果一个数列从第二项起,每一项与它前面相邻的一项的差为一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做这个等差数列的公差。

对定义的理解:(1)定义表述中“从第二项起”,是后叙条件,其有两层内涵,一是因为第一项没有前一项,所以没有办法与前一项作差比较;二是须确保该数列中任何一项与其前一项的差为一常数。(2)定义中的“每一项与它前一项的差”,也有两层内涵,其一强调作差比较的顺序,就是每一项与其前一项的差;其二是作差比较的这两项必须相邻。(3)定义中“同一常数”,不仅仅是指(2)中的这个差是一个常数,而且是相同的一个常数。

2.符号表示。数列{mn}满足mn+1-mn=d(d为常数,n∈N*),则称数列{mn}是等差数列,常数 d 称为该等差数列的公差。

特别注意符号语言所起的作用:(1)给出了判定一个等差数列的方法,但必须要理解 n 的取值范围,例如:mn-mn-1=d,若表示等差数列,需加上 n∈N*,n≥2这个条件。(2)确定了等差数列的递推公式,这一公式在以后的递推数列当中经常用到,有很大的实用性。

(二)等差数列的通项公式

1.通项公式。对于等差数列{an},由an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d(m∈N*)。

2.公式的推导过程。因为a1+1-an=d,所以a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d,将它们作和,得到an-a1=(n-1)d,故an=a1+(n-1)d。

3.等差中项公式。如果a,A,b是等差数列的项,则A项叫做a项与b项的等差中项,有。

运用等差数列的这个通项公式,可以判断一个数是不是该等差数列中的项;还可以利用公式an=a1+(n-1)d,若已知an,a1,d,n中任意三个项,很容易求出另外的未知项,即“知三求一”。有时利用公式an=am+(n-m)d能够快速求出an项。如设{an}是等差数列,已知a5=10,a12=31,求an就可用这种方法解决。

(三)等差数列的性质

1.如果m+n=p+q(m,n,p,q∈Nanemometer*),那么am=ap+aq。

2.下标为等差数列的项(ak,ak+m,ak+2m,…)同样组成一个等差数列。

3.数列{λan+b}(λ,b为常数)同样为一个等差数列。

4.如果数列{an}和数列{bn}均为等差数列,那么{an±bn}也同样是一个等差数列。

5.如果等差数列{an}的公差为d,那么,当d>0时,{an}为依次递增数列;当d<0时,{an}为依次递减数列;当d=0时,{an}为各项是常数的等差数列。

在解决数学问题时,灵活运用等差数列的一些性质,有时可使一些复杂问题简单化,实现解题过程的简洁流畅。

二、实用方法

(一)如何快速判断一个数列{an}为等差数列

判断数列{an}为等差列的常用方法有:

1.定义判定法:an+1-an=d(d为常数,n∈N*){an}为等差数列。

2.递推判定法:2an+1=an+an+2(n∈N*){an}为等差数列。

3.通项判定法:an为n的一次函数{an}为等差数列。

4.求和判定法:{an}为等差数列 Sn=An2+Bn(其中Sn为{an}的前n项的和)。

5.性质判定法:利用等差数列的一些性质来判断。

〖例〗已知x,y,z成等差数列,试判断x2(y+z),y2(z+x),z2(x+y)是否成等差数列。

〖解〗由x,y,z成等差数列,得x+z=2y

又 x2(y+z)+z2(x+y)-2y2(z+x)

= x2z+z2x+xy(x-2y)+yz(zanemometer-2y)

= x2z+z2x-2xyz

=xz(x+z-2y)=0

∴ x2(y+z)+z2(x+y)=2y2(z+x),

故 x2(y+z),y2(z+x),z2(x+y)成等差数列。

(二)等差数列的设项法

1.通项法。设数列的通项公式,即设an=a1+(n-1)d(n∈N*)。

〖例〗等差数列{mn}的公差d≠0,试比较m4m9与m6m7的anemometer大anemometer小。

〖解〗设mn=m1+(n-1)d,则

m4m9-m6m7

=(m1+3d)(m1+8d)-(m1+5d)(m1+6d)

=(m21+11dm1+24d2)-(m21+11dm1+30d2)

=-6d2<0

∴m4m9<m6m7

2.对称设。当等差数列{mn}的项数n为奇数时,可设中间的一项为m,再以公差为d向两边分别设项:…,m-2d,m-d,m,m+d,m+2d,…;当项数n为偶数时,可设中间两项分别为m-d,m+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,m-3d,m-d,m+d,m+3d,…

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